英文名称: Advanced Mathematics 2-1 课程号：1400000010

学时：72 学分: 4

课程类别：公共课课程性质：通识必修课

课程归属单位：理学院

适用专业：制药、轻工、人文地理等工科各专业。

编制时间：2016年7月25日（修订）

一、课程的简介

《高等数学1-1》是理工类高校非数学专业一门非常重要的通识教育必修课程。它为学生学习后继课程，从事工程技术和科学研究工作以及进一步获得近代科学技术知识奠定必要的数学知识。

通过本课程的学习，应使学生掌握高等数学的基本概念、基本理论和基本运算技能,达到以下目标：

知识目标：

（1）理解函数的有关概念，会根据不同学科的有关知识建立简单的函数关系。

（2）理解极限的有关概念，掌握求极限的各种方法则。

（3）理解函数连续的概念，会判断间断点的类型，会用闭区间上连续函数性

质作简单的证明。

（4）理解一元函数微分与导数的概念，掌握求一元函数微分与导数的各种法则，能熟练求各种函数的各阶导数。

（5）理解三个中值定理，会利用中值定理证明一些简单结论。

（6）掌握导数的应用，会用一、二阶导数判断函数的单调性，求函数的单调区间；会判断曲线的凹凸性，求曲线的拐点；并会求解较简单的实际问题

的最大值和最小值。

（7）掌握求

、

型等不定式极限的洛必达法则。

（8）理解定积分与不定积分的概念，掌握定积分与不定积分的性质，理解定积分与不定积分的关系，掌握牛顿一莱布尼兹公式。

（9）掌握求积分的各种方法，会求不定积分、会计算定积分。

（10）理解定积分元素法的思想，会用定积分,求某些简单几何量（面积、体积）与物理量（功、压力）等。

（11）理解微分方程的有关概念，会解一阶微分方程、二阶常系数齐次线性微分方程以及三类可降阶高阶微分方程。

能力目标：

（1）具备抽象概括能力与逻辑推理能力

（2）具备自学能力与运算能力

（3）具备综合运用所学知识分析问题和解决问题的能力

二、主要教学环节及学时安排

教学环节

理论教学

习题课

合计

学时数

三、先修要求

具有高中数学知识即可学习本课程。

四、预期学习成果

教学内容

预期学习成果

要求

程度

一级标题

学时

二级标题

知识

能力

函数、极限、连续

函数

掌握函数的概念，理解复合函数的概念，了解反函数的概念.

会建立简单的函数关系。

函数的性质

了解函数的性质（奇偶型、单调性、周期性和有界性）。

函数、极限、连续

数列与函数的极限

了解极限的描述定义，理解极

限的概念。

函数、极限、连续

极限的性质

了解极限的性质（唯一性、有界性、保号性）。

无穷小与无穷大

了解无穷小、无穷大的概念

无穷小的比较

掌握高阶无穷小和等价无穷小的判别方法

会用等价无穷小替换求极限

函数、极限、连续

极限的四则运算法则

熟练掌握极限的四则运算法则

会用极限的四则运算法

则求极限。

极限收敛准则Ⅰ

了解极限的夹逼定理

重要极限1

掌握重要极限

会用重要极限

求有关

型的极限

极限收敛准则Ⅱ

了解单调有界数列必有极限的准则

重要极限2

掌握重要极限

会用重要极限

求有关

型的极限

函数、极限、连续

函数连续的定义

掌握函数在一点连续的定义，理解函数在区间上连续的概念

会判断分段函数在分段点

的连续性

间断点

了解间断点的概念，掌握间断点的分类

会判断间断点的类型

闭区间上连续函数的性质

了解闭区间上连续函数的介值定理与最大(小)值定理。

微分与导数

微分的概念

理解一元函数微分的概念，了解局部线性化思想。

.导数的定义与意义

掌握导数的定义及其几何意义，了解函数的可导性与连续性之间的关系。

会求曲线在一点的切线方程

函数的变化率

了解导数作为函数变化率的实际意义

微分与导数

导数的四则运算法则

掌握导数的四则运算法则

会用导数的四则运算法则

求初等函数的导数

复合函数求导法则

掌握复合函数的求导法则，理解反函数的求导法则。

会用复合函数的求导法则

求初等函数的导数

高阶导数

理解高阶导数的概念，掌握初等函数的一阶、二阶导数的求法。

会求初等函数的

阶

导数

隐函数与由参数方程所

确定的函数的导数

掌握隐函数与由参数方程所确定的函数的求导法则

会求隐函数和由参数方程所

确定的函数的一、二阶导数

微分中值定理与

导数的应用

罗尔中值定理

理解罗尔中值定理，掌握其应用

会用罗尔中值定理作简单

的证明

拉格朗日中值定理

理解拉格朗日定理，掌握其应用

会用拉格朗日中值作简单

的证明

柯西中值定理

了解柯西中值定理

微分中值定理与

导数的应用

函数的单调性及判断方法

掌握利用导数判断函数的单调性的方法

会用一阶导数判断函数的

单调性，求函数的单调区间

曲线的凹凸性及判断方法

掌握利用导数判断曲线的凹凸性的方法

会用二阶导数求曲线的凹

凸区间，并会求曲线的拐点.

函数的极值与最值

理解函数的极值与最值概念，掌握求极值的方法

会求解较简单的实际问题

的最大值和最小值。

微分中值定理与导数的应用

洛必达法则

掌握求

、

型等不定式极限的洛必达法则

会用洛必达法则求不定式

的极限。

微分中值定理与导数的应用

泰勒公式

了解泰勒定理以及用多项式逼近函数的思想

曲率

了解曲率和曲率半径的概念

一元函数积分及其应用

定积分的概念与性质

理解定积分的概念和几何意义，了解定积分的性质和积分中值定理。

微积分学基本定理

理解变上限的积分作为其上限的函数，掌握其求导方法，掌握牛顿一莱布尼兹公式。

会求变上限函数的导数，会用牛顿一莱布尼兹公式求

定积分

不定积分的概念

理解原函数与不定积分的概念

一元函数积分及其应用

直接积分法

掌握不定积分的基本积分公式

会用直接积分法、换元积

分法与分部积分法求函数的不定积分与定积分。

换元积分法

掌握第一与第二换元积分法

分部积分法

掌握分部积分法

一元函数积分及其应用

无穷区间上的反常积分

掌握判断无穷区间上的反常积分敛散性的方法。

会判断无穷区间上的反常

积分的敛散性

无界函数的反常积分

了解无界函数的反常积分及其收敛性的概念。

一元函数积分及其应用

定积分在几何上的应用

理解定积分元素法的思想，掌握用元素法求某些简单几何量（面积、体积）的方法

会用定积分求平面图形的面积与旋转体的体积

定积分在物理上的应用

掌握用元素法求某些简单的物理量（功、压力）等

会用定积分求变力做功、液体压力等物理量

常微分方程

微分方程的基本概念

了解微分方程、微分方程的解、通解、初值条件和特解的概念。

常微分方程

一阶微分方程

掌握可分离变量的微分方程及一阶线性微分方程的解法；会解齐次微分方程，了解用变量代换求解微分方程的思想。

会求可分离变量的微分方程及一阶线性微分方程的

通解与特解

常微分方程

可降阶的高阶微分方程

掌握三类可降阶高阶微分方程的解法

会用降阶法解三类高阶微

分方程：

，

常微分方程

线性微分方程解的结构

理解二阶线性微分方程解的结构

二阶常系数线性齐次微

分方程

掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法

会求

的通解

与特解

二阶常系数线性非齐次

微分方程

掌握二阶常系数非齐次线性微分方程的特解的设法与通解的表示法

会设自由项为

与

的二阶常系数非齐次线性微

分方程的特解

注：L1——知道、L2——领会、L3——应用、L4——分析、L5——综合、L6——评价。

五、教学内容

1.函数、极限、连续(14学时)

基本内容：

1.1函数概念与函数性质（奇偶性、单调性、周期性和有界性）

1.2极限的概念

1.3极限的运算法则与极限的性质（唯一性、有界性、保号性

1.4极限存在准则与重要极限

1.5无穷小与无穷大的概念，无穷小的比较

1.6函数连续的概念

1.7闭区间上连续函数性质

教学重点：复合函数与初等函数的概念；等价无穷小的概念与它在求极限过程中的作用；两个重要极限及其应用；函数连续的概念。

教学难点：极限的概念；求极限的各种法则。

2.一元函数微分学及其应用(22学时)

基本内容：

2.1导数的概念及其几何意义

2.2导数的运算法则，基本初等函数的导数公式

2.3微分的概念

2.4高阶导数的概念

2.5隐函数和由参数方程所确定的函数的求导方法

2.6中值定理

2.7洛必达法则

2.8函数的极值与最值

2.9曲线的凹凸性及拐点

2.10曲率和曲率半径

教学重点：导数与微分的概念，函数求导的公式及各种法则；微分中值定理，洛必达法则与导数的应用。

教学难点：复合函数的求导法则；用洛必达法则求各种不定式的极限。

3.一元函数积分学及其应用(20学时)

基本内容：

3.1定积分的概念、几何意义及性质

3.2原函数与不定积分的概念、不定积分的性质

3.3积分上限的函数及其导数、牛顿-莱布尼茨公式

3.4基本积分公式

3.5积分方法（换元法与分部积分法）

3.6定积分的元素法（微元法）及其应用

3.7两类反常积分及其收敛性的概念

教学重点：积分的换元积分法与分部积分法，定积分的元素法与积分的应用。

教学难点：积分的换元积分法，积分在物理学上的应用。

4.常微分方程(12学时)

基本内容：

6.1微分方程的概念

6.2 一阶微分方程的解法

6.3可降阶的高阶微分方程：

；

6.4二阶线性微分方程解的结构

6.5二阶常系数齐次线性微分方程的解法

6.6自由项形如

与

的二阶常系数非齐次线性微分方程的解法。其中

为实系数多项式，

为实数。

教学重点：可分离变量的微分方程及一阶线性微分方程的解法；二阶常系数

线性微分方程的解法。

教学难点：自由项形如：

与

的二阶常系数非齐次线性微分方程的特解的设法。

六、成绩评定

考核环节

权重

平时表现

章节测试

15 %

作业

10 %

考勤

期末考试

70 %

合计

100%

七、教材及推荐参考书

教材：《微积分》上册，向淑文主编，高等教育出版社出版。

推荐参考书：

（1）《高等数学》上册（第七版）同济大学应用数学系主编，高等教育出版社出版。

（2）《高等数学(理工类)》上册，吴赣昌主编，中国人民大学出版社出版。

（3）《高等数学》上册，王金金主编，北京邮电大学出版社出版。

推荐网站：

http://www.youku.com/playlist_show/id_2544877.htylist_show/id_2544877.html